“主元思想”助你算得又快又准！

今年高考结束后，很多学生对数学卷的评价就是题目上手不难，方法也会，但一对答案，错了不少。

(相关资料图)

“全国甲卷属于看似简单，实则较为难的题型，计算量较大。”

“全国乙卷则属于计算量大。”

“在新高考一卷中，选择题和填空题相对简单，大题难度大，计算量巨大。”

……

一个关键词就是“计算量大”。

教育部教育考试院发布的2023年高考数学全国卷试题评析中提到，高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。一是重点考查逻辑推理素养；二是深入考查直观想象素养；三是扎实考查数学运算素养。

这里的第三条就是扎实考查数学运算素养。试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。

因此，计算能力就是我们每一个高中生都需要去重点突破的问题。有些人认为计算就是“求值”，就是写写算算，只要认真，都能算对，这是大错特错的。计算是一个系统工程，有知识，有方法，有直觉，有化归转化，有数形结合，几乎所有的数学思维都蕴含其中，是很“高级的数学”，也是需要专门训练的，只有认真是远远不够的。

本文就从“主元思想”的角度来谈谈计算问题。

所谓“主元”指的是一个变元，它在整理或消去过程中起着主导地位。

先看下面这个例子：

这道题目中一共出现了四个字母，看得人眼花缭乱。这时就需要确定一个字母作为“主元”，把其他字母看成常数。选择谁呢，由于要证的结论中没有字母c，它最特殊，把它当成主元，就得到下面的方法。

这道题的处理过程一直贯穿“主元”的思想，抓住了“主元”,就明确了解题的方向，就可以化繁为简，也就等于掌握了解题的主动权。“主元思想”在计算的很多领域都有应用，这里我们针对高中最常见的两类情况来加以说明，一是多项式乘法，二是因式分解。

一、多项式乘法

先来看一个简单的多项式乘多项式：

这种运算的解题步骤是：

（1）确定主元。这里显然是k。

（2）确定展开后各项主元的次数并确定展开后有几项。显然有4项，分别是k的3次方项，2次方项，1次方项和常数项。

（3）先写次数，再写系数，得出结果。

尽管这里说的是一步得出结果，但练习时一定要“先慢后快”，系数的计算需要借助草稿纸，在草稿纸上算好，再填上结果，并且完成后要复查检验。如何复查，不是再算一遍，平时训练宁可算错，也要一遍得出结果，复查发现错误才算第二遍，否则后面也快不起来。复查用的是“特殊化”思想，比如取k=1，不难算出原式等于2，后来的式子等于3+4-7+2=2（刚好是系数和），两个结果一致，就说明你的运算是正确的。

这个方法在我们记忆数学公式和结论时是应该经常用到的。

象这种平时用得比较少或自己记得不是特别清楚的公式，可以先写出来，然后用特殊值去验证，最后再翻书确认，几次之后，就会记得特别清楚，想忘也忘不掉。

方法二主要用了立方差公式，仍然强调的是先观察，制定策略，这样才能事半功倍。

在多项式的混合运算中，比如很多同学比较头疼的解析几何的综合运算问题，只要我们也应用“主元思想”，先认真观察、确定策略，再动笔计算；先定次数，再定系数。那么那些计算还是可以轻松搞定的，因为那些看似复杂的式子，化简后很多项的系数都会是零，结果往往是比较简洁的。

二、因式分解

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解的方法很多，除了初中课本涉及到的提公因式法和利用公式法（平方差公式和完全平方公式），还包括利用其他公式（立方和公式、立方差公式）、十字相乘法、分组分解法以及上述方法的综合（分组后利用公式法，分组后提公因式法），在这些方法中最常用的是十字相乘法。

1.十字相乘法

在上述的题目中，x就是主元。

这道题比较简单，我们希望大家通过这道题，熟悉十字相乘法的基本思路。

本题中有两个字母，我们既可以把看成主元，也可以把看成主元，因此有两种方法，大家比较一下，哪种方法更好。

本题看起来项特别多，但我们如果把x看成主元，和【例2】并无差别，仍然只有3项。