第六章 对形式化方法的哲学考察
主要问题：形式化的一般程序及其本质、形式系统的解释或模型、希伯特规划和形式主义、形式化方法的作业及其内在的局限性。
并阐述以下看法：
(资料图)
（1）形式系统的实质是：完全撇开所使用符号的意义，撇开该符号系统所使用的对象范围，只凭借明确给出的与符号的字形（结构）相关的语法规则构造形式系统，然后对如此构造的系统进行解释。
（2）在形式系统的解释方面，逻辑学经历了从单世界假定到多世界模型的演变。在此过程中，逻辑研究的重心经历了从证明论到模型论的演变。
（3）形式化把精确性、严格性、显明性、能行性和普遍性等带入理论研究之中，促使理论研究走向深入和深化；但它也具有许多内在的局限，如适用范围的狭窄性、研究结果的尝试性、作用程度的有限性等。
一． 形式化的一般程序及其本质
形式化是将一套特制的人工符号（形式语言）应用于演绎体系以使其严格化、精确化的程序和方法。形式化总是使某一理论形式化，这是指把该理论中的概念转化为形式语言中的符号，命题转化为符合公式，定理的推演转换为符号公式的变形，并把一个证明转换成符号公式的有穷序列，从而把对理论中概念、命题、推理的研究，转化为对符号表达式组成的形式系统的探究。
形式化系统包括三个大步骤：
（1） 做预备性研究。例如，澄清该理论中的概念与命题，消除它们的歧义与不精确之处，弄清楚它们之间的逻辑关系，以便确定哪些概念 、命题是基本的，哪些概念、命题是派生的，如此等等。
（2） 构造形式系统。设计一个形式语言，包括字母表以及形成规则。然后为其装配演绎系统，包括公理以及变形规则。最后推出所需的全部定理。
（3） 对形式系统进行解释。
步骤2中的知识点：
在量化公式中，若量词后面无括号，则量词后面最短的合式公式叫做该量词的辖域；若括号，则处于括号内的公式是该量词的辖域。
处在量词辖域内的一切与量词里的变项相同的变项都被此量词所约束，叫做约束变项。
不在任何量词的辖域内，或虽在某量词的辖域内但与该量词内的变项不同的变项，则不为该量词所约束，叫做自由变项。
含有一个或多个自由变项的量化公式叫做开公式。
不含任何自由变项的量化公式叫做闭公式。
自然语言缺点：
（1） 不精确，有严重的歧义。
（2） 语法复杂，甚至是混乱的。
（3） 表达方式极其笨拙，表现方式有时极为繁琐。
故形式语言的优点有：
（1） 单义，故精确。
（2） 语法明确，结构简单。
（3） 书写方便，表达能力强，易理解。
步骤3中的知识点：
形式系统一经构造完成之后，本身立刻就成为研究的对象，成为对象理论。
以形式系统为对象的理论称为元理论。
如果元理论的对象是逻辑形式系统，特别是一阶逻辑形式系统，则称这种元理论为元逻辑。
元理论是从语法和语义两个角度研究形式系统的性质的。语法处理和研究形式系统内符号和符号的关系。
逻辑语法包括：基本语法和理论语法。
基本语法：涉及形式系统的构造，规定了用形式化方法构造形式系统的程序。首先给出该系统的字母表，其次是形成规则，再次是公理，最后是变形规则，剩下的工作就是根据变项规则从公理推出定理。
理论语法：把构造好的形式系统本身作为研究对象，研究其语法特性，诸如语法意义上的一致性、完全性、独立性、可判定性等。
用语法语言陈述的定义叫语法定理，用语义语言陈述的定理叫语义元定理。与元定理相对应，用对象语言陈述的形式系统内的定理叫内定理。
语义处理和研究形式系统中符号和它所指称、所刻画的对象之间的关系
形式系统的解释把形式系统与已定的对象域连接起来，从而赋予形式系统内的初始符号和公式以一定的意义。
元理论要研究有关形式系统的以下问题：
（1） 形式系统是否具有一致性（或相容性）？
一致性有语法和语义两种涵义。语义一致性是指，一切在这形式系统内可证的公式都是真的，即可靠性。语法一致性是指，并非任一合式公式都在系统内可证。
因此，一致性不仅指一个形式系统中没有逻辑矛盾，而且是指它不可能产生矛盾。语义一致性可推出语法一致性。
（2） 形式系统是否具有完全性？
完全性也有语法和语义两种涵义。
语法完全性又有强的和弱的两种意义。强完全性是指属于一形式系统的每一公式都是或者可证的，或者是不可证的；弱完全性是指，如果把一形式系统中不可证的公式加到公理之中，该系统必将导致矛盾。
语义完全性是指：一形式系统内所有与真命题相应的合式公式都在这一系统内可证。
（3） 形式系统是否具有可判性？
可判定性与能行方法的概念是分不开的。所谓能行方法，就是每一步都由先给定的规则规定了的，并且在有穷步内结束的方法。所谓能行可判定，是指对一类问题有一能行方法，对任给该类中的问题，能在有穷步内确定它是否有这个性质，或者任给一对象能在有穷步内确定它是否属于该类。
（4） 形式系统的公理集是否具有独立性？
独立性就是相对于给定的变形规则的可推演性。一公式集合M是独立的，如果M中的任一公式A都不能根据给定的推演规则从M中其他公式推演出来。
（5） 形式系统是否具有范畴性？
范畴性知识相对于有模型并且有两个以上的模型的形式系统而言的。具体来说，它是指一个形式系统的所有模型都是同构的，而两个模型同构则是指：两个模型的论域中的元素及其关系能够保持一一对应。
形式化、符号化、公理化三者联系与区别：
符号化通常有两种：一是以使用自然语言为主，同时也使用某些特制的人工符号去表示所讨论的理论中特定的概念、命题甚至定理，即初步符号化。二是指将所讨论的理论中特定的概念、命题、推理分别全部转换为人工符号、符号序列、符号序列的变换，并且这些符号及其序列还必须保持严格的结构联系，即严格意义的符号化，亦是“构造形式语言”。符号化是形式化的前提，但前者并不是后者，前者只是后者过程中的一个步骤或环节。
公理化，是指把一个科学理论构造称为公理系统的演绎方法，它至少包含以下步骤：一是从该理论的诸多概念中挑选出一组初始概念，该理论的其他概念，都由初始概念通过定义引入，称为导出概念；二是从它的一系列命题中挑选出一组公理，而其余的命题都应用逻辑从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程被称为一个证明，每一个定理都须经由证明而肯定。由初始概念、导出概念、公理、定理过程的演绎系统，被称为公理系统。形式化的前提是公理化，但又不等同于公理化。因为有些公理系统的对象域是事前给定的，并且基本上是用自然语言加上特定的的符号语言陈述的；而形式系统事先不给定任何论域，事后容许许多不同的解释，并且全都用人工构造的形式语言陈述的。
形式化是严格符号化与公理化相结合的产物，是公理化发展的高级阶段。
二． 模型：从现实世界到可能世界
伴随着语义思考从现在世界模型到可能世界模型的发展，逻辑研究的重心也经历了从语形学（证明论）到语义学（模型论）的变化。
1. 现实世界模型
在考虑形式系统解释时，只考虑现实世界及其对象，就是所谓的“现实世界模型”。
亚里士多德在《后分析篇》探讨了实质公理化。他认为，一个演绎科学理论可视作一个关于某一确定领域的概念和命题的体系，其中全部概念分为基本概念和派生概念，后者是由基本概念运用定义直接或间接加以规定的概念，全部命题分为基本命题和导出命题。基本命题包括公理和公设，它们构成系统内一切证明的出发点，公理必须依据经验或直观而明显为真，它们为一切科学所共有。公设则是某一门科学所接受的第一性原则，毋需证明，但其真是与否要接受推出结果的检验。从公理和公设出发，经使用逻辑规则进行推导，得到导出命题，亦称定理。由基本概念和派生概念、公理、公设、推理规则和定理构成的理论体系就是公理系统。
2. 抽象、一般的模型
在抽象、一般地考虑形式系统的解释或模型时，通常分两步进行：第一步是为该系统的形式语言指定论域，并给出形式语言内个体常项、函数符号、谓词符号在该论域中所分别代表的特指个体、函数运算以及性质或关系，这些结合在一起组成一个结构。第二步是在此结构的基础上再指定个体变项所代表的个体，这成为指派。一个结构加上结构上的一个指派才构成一个完整的语义解释（亦称赋值）。
如果有赋值使一个公式为真，我们称该公式为可满足的；如果一公式对于任何结构中的任一指派（即任意赋值）都是真的，我们称词公式为常真公式，或普遍有效式、永真式。
一个系统内的公式相对赋值就被区分为：（1）可满足的（2）不可满足的（3）逻辑有效的。公式集也可以区分为这三种。
3. 可能世界模型
逻辑真理：在所有的可能世界都真的真理。
模态语义理论（即可能世界语义学）改进：
（1） 命题的真假相对化
（2） 必然性、可能性功能相对化
（3） 可能世界之间具有一定关系
满足——在某个模型的某个可能世界上为真。
逻辑有效性——一模态公式在由任一模型所组成的模型类中有效。
可靠的——一个模态逻辑系统的所有定理都在一给定模型类的每一个模型中有效。
经典逻辑的规律就在每一个可能世界内都成立。
三． 希尔伯特规划和形式主义
所谓“希尔伯特规划”，是由著名德国数学家希尔伯特于20世纪初期提出的一种数学方案，其要点是：将各门数学形式化，构成形式系统或形式理论，然后用有穷方法证明各形式系统的一致性，从而导出全部数学的一致性，以此保卫古典数学。
希尔伯特把数学分为三类：（1）非形式化的数学，即通常直观的数学。（2）形式化的数学，即把通常的数学表示为形式系统的结果。（3）元数学，亦称证明论，它是以形式化数学为研究对象的一种数学，其主要目的是证明各个数学分支的绝对一致性。
有穷方法的特点：
（1） 每一步只考虑确定的有穷数量的对象，承认潜无穷，但不处理实无穷对象；
（2） 论域、判断或定义的对象必须满足能彻底给出，其过程能彻底进行；
（3） 全称命题只能在假言意义下理解，即任给一个对象都能有穷地证实它具有所说的性质。
哥德尔在试图按希尔伯特规则行事中的过程中，得到一个否定性的结果：如果一个包括初等数论的形式系统是一致的，那么其一致性不能用有穷方法甚至不能用一阶逻辑和初等数论的方法来证明。
形式主义者认为实在论有两大问题：
（1） 实在论肯定实无穷没有直观上可信的合理根据。
（2） 实在论构成对数学研究中自由思想的压制，因为实在论认为我们只能认识而不能创造数学对象。
形式主义的两个核心观点受到质疑：
（1） 否认实无穷的实在性进而否认所有数学对象的实在性。
（2） 把数学对象的存在性和数学命题的真理性完全归结为“一致性”或“相容性”。
四． 形式化方法的作用和限度
1. 形式化的必要性
（1） 形式化为科学研究提供了一种新的视角和新的思考方式。
（2） 形式化有助于提高一个理论的严格性和精确性，有助于排除理论思维中的谬误。
（3） 形式化有助于揭示一个理论的概念、范畴、命题的潜在涵义及其相互之间的潜在逻辑关系，从而促使理论研究走向深入。
（4） 形式化有助于不同观点的比较和辨识，为不同观点之间的交流、讨论、批判提供了前提和基础。
2. 内在局限性
（1） 适用范围的狭窄性。①不是一切理论都可以被形式化。②并不是一个理论的一切都可以被形式化。
（2） 研究结果的尝试性。应用形式化方法得到的形式理论，只是一种暂时性和尝试性的理论。来源是①在关于任何对象的非形式思想中，在相关性、一致性和清晰性方面存在着某种程度的松散性和薄弱性从而导致系统化理论的暂时性。②在构造形式系统时，在形式语言和演绎装置的设计与选择上存在问题，如概念不够基本，推理规则选择不够恰当。
（3） 作用程度的有限性。①哥德尔不完全性定理，第一定理说明，任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。第二定理说明，如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。②丘奇-图灵的不可判定性定理，对于系统S而言，必然是不可判定的，即不存在可以用来判定其中的任一命题是否可证的算法。③塔斯基的真概念不可定义性定理，对于系统S而言，其真概念在本系统中是不可被定义的。
