是一个正整数，数列按如下方式定义：

，.

【资料图】

求的一切可能值，使得存在，（，），满足是一个正整数的次幂.

[选择的理由]

[分析]

从题目结论出发，换元化简.

化简后的平方需要一些创造，但也不是完全想不到，往次方数上靠.

因式分解后应该抱有美好的希望（互质），因为这样能推出很强的结论.

互质的证明和后面的分类讨论考验基本功，只需要运用简单的定理推导即可.

[解答]

定义数列：，

则.

等式两边同时平方并加可得：

,

即.

若存在质数，

使得且，

则，即，

因此.

因为,

所以，

所以，

即.

因为，

所以，

因此，

即，

因此.

又由于是质数，所以，

依次类推，可得，即.

因为，

即,

可得，即，

又因为，

所以，所以，

这与是质数矛盾.

故对任意，恒成立.

引理：连续两个正整数不可能同时是次方数，其中.

证明：假设存在正整数，使得

，（，）

则，，

所以，

因为，

与矛盾，

所以假设不成立，引理得证.

回到原题，若是一个正整数的次幂，

即是次方数.

又，

且，

所以也为次方数，

依次类推，也为次方数，

不妨设，

即，

因为，

所以，

当为奇数时， 与均为次方数，

由引理知此时无解.

当为偶数时, 不妨设(),

则为次方数，为次方数,

设,,

则也为次方数，

由引理当时无解.

所以，，(,).

又因为当(,)时，

满足题意，

所以的所有可能值为(,).

[注]

当数列和高次的条件同时出现，我们应该如果思考问题？

碰到多字母问题应该如何入手？

定理朴实但结论很强应该如何严谨推导？

这题给了我们一些灵感！